【鞅与停时】伊藤积分

简单过程

简单过程即有限次跳跃，分段常值的随机过程。
$X_{t}$ 称作简单过程如果（ $Y_{j}$ 为随机变量）

X_{t} = Y_{j}, t_{j} \leq t < t_{j + 1}, j = 0, 1, \dots, n

通过定义简单过程，可以通过一系列简单过程的逐渐逼近得到一般的随机过程，用于构建复杂随机积分和证明一般性定理

随机微积分

类似于普通的黎曼积分+随机性

d X_{t} = μ (t, X_{t}) d t + σ (t, X_{t}) d B_{t}

上述为一个随机微分方程的例子，其中 $B_{t}$ 为布朗运动。该随机过程 $X_{t}$ 可理解为具有偏移 $μ$ ，方差 $σ^{2}$ 的布朗运动。
不同于微积分，在随机微积分，先定义积分再定义微分。若 $X_{t}$ 为上式的解需满足

X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} μ (s, X_{s}) d s + \int_{0}^{t} σ (s, X_{s}) d B_{s}

这里 RHS 中的前两项即常数与普通的黎曼积分。关键在于对第三项的定义（第三项也称作伊藤积分）

伊藤积分

简单过程关于 Brown 运动的积分

简单随机过程关于Brown运动的积分：设 ${X (t), 0 ⩽ t ⩽ T}$ 是一个简单随机过程，即存在 $[0, T]$ 的分割 $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = T$ ,以及随机变量 $ξ_{- 1}, ξ_{0}, \dots, ξ_{n - 1}$ 使得

$ξ_{- 1}$ 是常数 ;
$\forall i \in N, ξ_{i}$ 依赖于 $B (t)$ $(t ⩽ t_{i})$ 但不依赖于 $B (t)$ $(t > t_{i});$
满足

X (t) = ξ_{- 1} I_{0} (t) + \sum_{i = 0}^{n - 1} ξ_{i} I_{(t_{i}, t_{i + 1}]} (t)

定义简单随机过程的伊藤积分为

\int_{0}^{T} X (t) d B (t) = \sum_{i = 0}^{n - 1} ξ_{i} [B (t_{i + 1}) - B (t_{i})]

是一个随机变量。

对于一般的有界适应过程，可以通过对一系列简单过程的逼近定义伊藤积分以及伊藤积分过程

伊藤积分过程

设 $T > 0$ 为固定实数， ${B (t)}_{t \geq 0}$ 是布朗运动。若随机过程
$X = {X (t)}_{t \geq 0}$ 满足以下条件：

适应性： $X (t)$ 关于布朗运动的 filter ${F_{t}}_{t \geq 0}$ 适应 (即 $X (t)$ 是 $F_{t} -$ 可测的)。
可测性： $X (t)$ 关于 $(t, ω)$ 联合可测。
平方可积性：满足

\int_{0}^{T} E [X (s)^{2}] d s < \infty,

则对任意 $t \in [0, T]$ ，伊藤积分为

Y (t) = \int_{0}^{t} X (s) d B (s)

存在且唯一， ${Y (t)}$ 定义为 $It \hat{o}$ 积分过程。

伊藤积分易证有如下性质

线性

\int_{0}^{t} (a A_{s} + b C_{s}) d B_{s} = a \int_{0}^{t} A_{s} d B_{s} + b \int_{0}^{t} C_{s} d B_{s}

区间可加性

\int_{0}^{t} A_{s} d B_{s} = \int_{0}^{r} A_{s} d B_{s} + \int_{r}^{t} A_{s} d B_{s}

等距性
- 等矩性关联了随机积分的二阶矩与确定性积分的 $L^{2}$ 范数
- 表明“随机信号的能量”等于被积信号在时间上的累积能量。

E [{(\int_{0}^{T} X (s) d B (s))}^{2}] = E [\int_{0}^{T} X (s)^{2} d s]

【证明思路】布朗运动的二次变差为 $[B]_{t} = t$ ,导致积分中 $d B (s)^{2} = d s$ ，从而消去随机性，转化为确定性积分。
通过简单过程的近似将伊藤积分展开 $\int_{0}^{T} X (s) d B (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} X_{k} (B (t_{k + 1}) - B (t_{k}))$ ；通过计算平方期望，化简交叉项最终可得 $E [\sum_{k = 0}^{n - 1} X_{k}^{2} (t_{k + 1} - t_{k})] = E [\int_{0}^{T} X (s)^{2} d s]$ 。经简单过程逼近可证

伊藤积分的鞅性

设 $H = {H_{t}}_{t \geq 0}$ 是一个适应于布朗运动 ${W_{t}}$ 的随机过程，且满足平方可积条件：

E [\int_{0}^{T} H_{s}^{2} d s] < \infty \forall t

则伊藤积分 $M_{t} = \int_{0}^{t} H_{s} d W_{s}$ 是一个平方可积鞅，即：

对所有 $t \geq 0, E [M_{t}^{2}] < \infty$ 。
满足鞅性：对任意 $s < t$ ,有 $E [M_{t} ∣ F_{s}] = M_{s}$ 。

对简单过程易知 $\int_{0}^{T} X (t) d B (t) = \sum_{i = 0}^{n - 1} ξ_{i} [B (t_{i + 1}) - B (t_{i})]$ 的期望=0，再利用简单过程的近似以及布朗运动的鞅性易证。

伊藤公式（伊藤引理）

对于随机积分，可以发现微积分基本定理再伊藤意义下的随机积分并不成立，例如

E {\int_{0}^{t} B_{s} d B_{s}} = 0 \neq \frac{t}{2} = E {\frac{1}{2} (B_{t}^{2} - B_{0}^{2})}

随机积分的另一种形式 Stratonovich 积分，可以“相容”微积分基本定理。

积分形式

【 $f$ 仅为 $B_{t}$ 的函数时】

It \hat{o} ’s formula

Suppose that $f \in C^{2}$ , i.e., it has two continuous derivatives. The with probability one, for all $t \geq 0$

f (B_{t}) - f (B_{0}) = \int_{0}^{t} f^{'} (B_{s}) d B_{s} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} f^{''} (B_{s}) d s

(PTE^[1] Theorem 8.6.1)

Proof

（为便于阅读， $B (s)$ 与 $B_{s}$ 表述内容一致不做区分）
取 $[0, t]$ 的分割 ${t_{i}^{n}}$ ，有

\begin{aligned} f [B (t)] & = f (0) + \sum_{i = 0}^{n - 1} {f [B (t_{i + 1}^{n})] - f [B (t_{i}^{n})]} \\ = f (0) + \sum_{i = 0}^{n - 1} f^{'} [B (t_{i}^{n})] [B (t_{i + 1}^{n}) - B (t_{i}^{n})] + \sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{1}{2} f^{''} (θ_{i}^{n}) {[B (t_{i + 1}^{n}) - B (t_{i}^{n})]}^{2} \end{aligned}

其中第二个等号为泰勒展开， $θ_{i}^{n} \in (B (t_{i}^{n}), B (t_{i + 1}^{n}))$ 。令 $\max_{i} t_{i}^{n} - t_{i - 1}^{n} \to 0$ 则有

\begin{array}{r} \sum_{i = 0}^{n - 1} f^{'} [B (t_{i}^{n})] [B (t_{i + 1}^{n}) - B (t_{i}^{n})] \to \int_{0}^{t} f^{'} [B (s)] d B (s) \\ \sum_{i = 1}^{n - 1} f^{''} (θ_{i}^{n}) {[B (t_{i + 1}^{n}) - B (t_{i}^{n})]}^{2} \to \int_{0}^{t} f^{''} [B (s)] d s \end{array}

因此

f [B (t)] = f (0) + \int_{0}^{t} f^{'} [B (s)] d B (s) + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} f^{''} [B (s)] d s

【 $f$ 同时为 $t, B_{t}$ 函数时】

Theorem

Suppose $f \in C^{2}$ has continuous partial derivatives up to order two. Then with probability 1, for all $t \geq 0$

\begin{aligned} f (t, B_{t}) - f (0, B_{0}) & = \int_{0}^{t} \frac{\partial f}{\partial t} (s, B_{s}) d s + \int_{0}^{t} \frac{\partial f}{\partial x} (s, B_{s}) d B_{s} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (s, B_{s}) d s \end{aligned}

(PTE^[1:1] Theorem 8.6.4.)

微分形式

d f (B_{t}) = f^{'} (B_{t}) d B_{t} + \frac{1}{2} f^{″} (B_{t}) d t

d f (B_{t}, t) = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial B_{t}^{2}}) d t + \frac{\partial f}{\partial B_{t}} d B_{t}

伊藤引理如何快速验证随机过程是鞅？

伊藤引理指出，若 $f (w, t)$ 是一个连续可导的函数，则

d f (W_{t}, t) = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial W_{t}^{2}}) d t + \frac{\partial f}{\partial W_{t}} d W_{t}

这里 $W_{t}$ 是一个标准布朗运动。若 $d f (W_{t}, t)$ 不含漂移项（ $d t$ 的系数是0） ,则 $f (W_{t}, t)$ 是一个鞅。
例如有关Brown运动的常见的鞅中 $W_{t}^{2} - t$ 是一个鞅可根据伊藤引理快速证明：

d (\begin{matrix} W_{t}^{2} - t \end{matrix}) = (- 1 + 1) d t + 2 W_{t} d W_{t} = 2 W_{t} d W_{t}

没有漂移项，所以 $W_{t}^{2} - t$ 是一个鞅。类似地， $W_{t}^{3} - 3 t W_{t}$ 是一个鞅。

可以看出这里的漂移项=0 其实就对应着布朗运动的鞅构造定理

Probability: Theory and Examples (豆瓣) ↩︎ ↩︎