线性空间&线性变换

线性空间基本定义

数环|数域|线性空间

代数系统：群/环/域

数环

设 $Z$ 为非空数集且其中任何两个相同或互异的数之和、差与积仍属于 $Z$ (即数集关于加、减、乘法运算封闭)，则称Z是一个数环。

$Z = {0}$ 是最小的数环

数域

如果 $P$ 是至少含有两个互异数的数环,并且其中任何两个数 $a$ 与 $b$ 之商( $a \neq b$ )仍属于 $P$ （数集关于四则运算都封闭），则说 $P$ 是一个数域。

线性空间|线性运算

设 $V$ 是一个非空集合， $F$ 是一个数域，且满足在 $V$ 中定义封闭的加法和数乘运算， $V$ 即是数域 $F$ 上的线性空间。封闭的加法与数乘两种运算即线性运算。

|500

V

是否为数域

F

上线性空间

$V = C, F = R$ ：√
$V = R, F = C$ ：×
探讨线性空间性质中数乘的数来自数域，结果属于非空集合 $V$ 即可

$V = R^{+}, F = R$ ：×（数乘不封闭）

线性空间性质
- 零元素唯一，常记作 $θ$
- 任一元素的负元素唯一
- 设 $λ, 0, - 1, 1 \in P; x, - x, 0 \in V$
  1. $0 x = 0$
  2. $(- 1) x = - x$
  3. $λ 0 = 0$
  4. $λ x = 0 \Rightarrow x = 0 / λ = 0$
零空间： ${0}$

线性相关|线性无关

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} \in V$ 若存在不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}$ 使得 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots k_{s} α_{s} = θ$ ,则称向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ ,线性相关。否则，称 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关。

推论
- 若 $s \geq 2$ ,则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关当且仅当存在向量 $α_{j}$ ，使得 $α_{j}$ 可由其余向量线性表示。
- 若 $α_{1}$ , $α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关，但 $β$ , $α_{1}$ , $α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关，则 $β$ 可由 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性表示，而且线性表示的方法是唯一的。
- 若 $t > s$ , $β_{1}$ , $β_{2}, \dots, β_{t}$ 可由 $α_{1}$ , $α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性表示，则 $β_{1}$ , $β_{2}, \dots, β_{t}$ 线性相关

线性空间向量组是否线性相关

$V = C, F = R, α_{1} = 1, α_{2} = i = \sqrt{- 1}$ （不相关 $a α_{1} + b α_{2} = 0 \leftrightarrow a = b = 0 (a, b \in R)$ ）
$V = C, F = C, α_{1} = 1, α_{2} = i = \sqrt{- 1}$ （相关）

基|维数

基

$\begin{aligned} 若 α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} \in V 满足条件: \\ 1. α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} 线性无关; \\ 2. 任意的 η \in V 均可由 α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} 线性表示, \\ 则称 α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} 是 V 的一组基 \end{aligned}$

维数

若 $V$ 的某一组基中含 $n$ 个向量，则 $V$ 的任一组基中都含 $n$ 个向量，称 $n$ 是 $V$ 的维数，记为 $d i m V$

每组基所含向量个数相同

【证明】（利用线性无关组性质）
不妨设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 与 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ 是线性空间 $V$ 的两组基，要证 $m = n$
由于 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 可由 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{m}$ 线性表示，且 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性无关
因此(由线性无关推论)， $n \leq m$
同理可证 $n \geq m, i . e . n = m . ◻$

线性空间的基不一定存在（如零空间，无穷维空间）

下列空间的基与维数

$V = F^{2 \times 2}$ : $\dim V = 4, {E_{11} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), E_{12}, E_{21}, E_{22}}$
$V = C, F = R$ : $\dim V = 2$
$V = C, F = C$ : $\dim V = 1$ （ $1 = - i * i$ 因此不再线性无关）

定理

若 $\dim V = n$ ，则 $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量均构成 $V$ 的基

坐标|过渡矩阵

坐标

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是 $V$ 的一组基， $β \in V$ 且 $β = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n}$ ，则称 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 是 $β$ 在基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 下的坐标， $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ 是 $β$ 在基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 下的坐标(列向量)

基与极大无关组的区别
极大无关组无需考虑向量的次序，而线性空间的一组基是有序的
通过坐标，把向量之间的关系 $\Leftrightarrow$ 坐标之间关系

定理

假设 $η, η_{i} \in V$ 在基 $α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}$ 下的坐标分别是 $X$ 及 $X_{i}, i = 1, 2, \dots, s$ ,则

$η = θ \Leftrightarrow X = θ;$
$η = k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2} + \dots + k_{s} η_{s} \Leftrightarrow X = k_{1} X_{1} + k_{2} X_{2} + \dots + k_{s} X_{s};$
$η_{1}, η_{2}, \dots, η_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow X_{1}, X_{2}, \dots, X_{s}$ 线性相关

求

F^{2 \times 2}

中下述向量组的极大无关组

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}), D = (\begin{matrix} 3 & - 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix})$

通过求 $A, B, C, D$ 的坐标( $x_{A} = (1, 1, 2, 2)$ )得到 $X = (x_{A}, x_{B}, x_{c}, x_{D})$ 通过初等行变换得到 $A, B$ 是极大无关组

过渡矩阵

设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 及 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ 都是 $V$ 的基，且

(β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}) = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) A $ $ 则 称 $ A $ 是 从 基 $ α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} $ 到 基 $ β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n} $ 的 过 渡 矩 阵

过渡矩阵一定可逆
坐标变换
$P : {α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}} \to {β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}}$
向量在 ${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}} = A, {β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}} = B$ 下坐标分别为 $X, Y$
有 $B Y = A P Y = A X$
$X = P Y, Y = P^{- 1} X$

子空间

设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间， $W$ 是 $V$ 的非空子集.若 $W$ 关于 $V$ 的运算也构成 $F$ 上的线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的子空间.记 $W \leq V$

定理

设 $W \subset V$ 非空，则 $W$ 是 $V$ 的子空间的充要条件： $W$ 关于线性运算封闭

两类重要的子空间
- 解空间： $V = {η \in F^{n} | A η = θ} A \in F^{s \times n}$
- 生成子空间： $W = {\sum_{i = 1}^{s} k_{i} α_{i} | k_{i} \in F} = L (α_{1}, \dots, α_{s})$
生成子空间未要求向量组 ${α_{1}, \dots, α_{s}}$ 线性无关

Example

$求 F^{2 \times 2} 子空间 W = {(\begin{matrix} x & y \\ - y & - x \end{matrix}) | x, y \in F} 的一组基$

${A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), B (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})}$
验证：1. $A, B \in W$ 2. 线性无关 3. $\forall η \in W = x A + y B$ 可知 $A, B$ 为其一组基

Example

设 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ ，证明： $W = {X \in F^{2 \times 2} | A X = X A}$ 是 $F^{2 \times 2}$ 的子空间，并求 $W$ 的一组基

【证明】子空间：即证线性封闭，易证
设 $x = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in W$ ，易推 $a = d, b = 0$
则 $W = {(\begin{matrix} a & 0 \\ c & a \end{matrix}) | a, c \in F}$ ，基为 ${I, E_{21}}$

有限维线性空间中任意线性无关向量组可扩充为该线性空间的基

子空间的交|和

\begin{aligned} V_{1} \cap V_{2} & = {η \in V | η \in V_{1} 且 η \in V_{2}} . \\ V_{1} + V_{2} & = {η \in V | \exists η_{1} \in V_{1}, η_{2} \in V_{2} 使得 η = η_{1} + η_{2} .} \end{aligned}

定理

$V_{1} \cap V_{2}, V_{1} + V_{2} 都是 V 的子空间$
$\begin{matrix} 若 V_{1} = L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}), V_{2} = L (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}), 则 V_{1} + V_{2} = L (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{t}) \end{matrix}$

维数定理

$假设 V_{1}, V_{2} \leq V,有 \dim (V_{1} + V_{2}) = \dim V_{1} + \dim V_{2} - \dim V_{1} \cap V_{2}$

Example

设 $α_{1} = (1, 2, 1, 0)$ , $α_{2} = (- 1, 1, 1, 1)$ , $β_{1} = (2, - 1, 0, 1)$ , $β_{2} = (1, - 1, 3, 7)$ , $V_{1} = L (α_{1}$ , $α_{2}), V_{2} = L (β_{1}, β_{2})$
求 $F^{4}$ 的子空间 $V_{1} + V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的基及维数

易求 $d i m V_{1} = d i m V_{2} = 2$
$\forall η \in V_{1} \cap V_{2}, η = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} = l_{1} β_{1} + l_{2} β_{2}$
通过 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} - l_{1} β_{1} - l_{2} β_{2} = 0$ 求得基础解系 $(- 1, 4, - 3, 1)^{T}$ 。即 $- α_{+} 4 α_{2} (- 3 β_{1} + β_{2})$ 是 $V_{1} \cap V_{2}$ 的基， $d i m V_{1} \cap V_{2} = 1, d i m (V_{1} + V_{2}) = d i m V_{1} + d i m V_{2} - d i m V_{1} \cap V_{2} = 3$

直和

设 $V_{1}, V_{2} \leq V$ ，若 $\forall η \in V_{1} + V_{2}$ ， $\exists$ 唯一的 $η_{1} \in V_{1}, η_{2} \in V_{2}$ ，使得 $η = η_{1} + η_{2}$ ，则称 $V_{1} + V_{2}$ 是直和。记为 $V_{1} \oplus V_{2}$

设 $V_{1}, V_{2} \leq V$ ,则下述条件是等价的：
- $V_{1} + V_{2}$ 直和
- $θ$ 的表示方式是唯一的( $θ = θ + θ$ )
- $V_{1} \cap V_{2} = {θ}$ （常用）
- $\dim (V_{1} + V_{2}) = \dim V_{1} + \dim V_{2}$ （常用）
- 将 $V_{1}, V_{2}$ 的基合在一起就是 $V_{1} + V_{2}$ 的基

Example

设 $A \in F^{n \times n}$ ,且 $A^{2} = A$
$V_{1} = {x \in F^{n} | A x = θ}, V_{2} = {x \in F^{n} | A x = x}$
证明：$F
【证明】1. 要证 $V_{1} \cap V_{2} = {θ}$
$\forall v \in V_{1} \cap V_{2}, {\begin{cases} A v = θ \\ A v = v \end{cases} \Rightarrow v = θ \to V_{1} \cap V_{2} = {θ}$
2. 要证 $F^{n} = V_{1} + V_{2}$
$V_{1} + V_{2} \subset F^{n}$ 显然成立
$\forall y \in F^{n}, y = \underset{\in V_{1}}{\underset{⏟}{(y - A y)}} + \underset{\in V_{2}}{\underset{⏟}{A y}}$ 易证，即 $V_{1} + V_{2} \supset F^{n}$
因此 $F^{n} = V_{1} \oplus V_{2} ◻$

Example

己知 $F^{n \times n}$ 的子空间
$V_{1} = {\begin{matrix} A | A^{T} = A \end{matrix}}, V_{2} = {\begin{matrix} A | A^{T} = - A \end{matrix}}$
证明： $F^{n} \times n = V_{1} \oplus V_{2}$

（提示） $\forall A \in F^{n \times n}, A = \underset{\in V_{1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (A + A^{T})}} + \underset{\in V_{2}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (A - A^{T})}}$

多子空间直和
设 $V_{1}, V_{2} ， \dots V_{s} \leq V$ ,则下述条件是等价的：
- $V_{1} + V_{2} + \dots V_{s}$ 直和
- $θ$ 的表示方式是唯一的
- $V_{j} \cap \sum_{i \neq j} V_{i} = {θ}$ （重点）
当条件变为 $V_{1} \cap V_{2} \cap \dots \cap V_{s} = {θ}$ 或 $V_{i} \cap V_{j} = {θ}, \forall i \neq j$ 结论不成立
- $\dim \sum_{i = 1}^{s} V_{i} = \sum_{i = 1}^{s} \dim V_{i}$ （常用）
- 将 $V_{1}, V_{2}, \dots V_{s}$ 的基合在一起就是 $V_{1} + V_{2} + \dots V_{s}$ 的基

线性映射

映射|恒等变换|双射

映射|恒等变换

设 $S$ 和 $T$ 是两个集合， $f$ 是一个法则，使得对 $S$ 中每个元素 $x$ , 在 $T$ 中必存在唯一的元素 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是 $S$ 到 $T$ 的映射，记为

f : S \to T, f (x) = y

如果 $f (x) = y$ ，则称 $y$ 为 $x$ 的象， $x$ 为 $y$ 的原象。 $S$ 在映射 $f$ 下的全体象记为 $f (S)$ ，称为 $f$ 的值域。集合 $S$ 到自身的映射 $f : S \to S$ 称为 $S$ 上的变换。集合 $S$ 到自身的映射 $I : S \to S;$ $x \mapsto x$ 称为 $S$ 上的恒等变换

满射|单射|双射

满射： $f : S \to T, f (S) = T$
单射： $f (a) = f (b) \Rightarrow a = b$ （一一对应）
双射：既是满射又是单射

$f : S \to T$ 是双射 $\Leftrightarrow f$ 是可逆映射

线性映射|线性变换

设 $V, U$ 是数域 $F$ 上的线性空间，若映射 $f : V \to U$ 满足条件：

$\forall x \in V, k \in F, f (k x) = k f (x)$
$\forall x, y \in V, f (x + y) = f (x) + f (y)$

则称 $f$ 是从 $V$ 到 $U$ 的线性映射，从 $V$ 到 $U$ 的线性映射全体记为 $H o m (V, U)$
$V$ 到 $V$ 自身的线性映射称为 $V$ 上的线性变换

对任意线性空间 $V$ ，下述变换肯定是线性变换：
- $O : V \to V, \forall x \in V, O (x) = θ;$
- $I : V \to V, \forall x \in V, I (x) = x$

值域R(A)|核空间K(A)

值域|核

设 $f \in H o m (U, V)$ ，称 $f (V)$ 是 $f$ 的值域，记作 $R (f)$ ；称 $K (f) = {α | f (α) = 0_{U}, α \in V}$ 为 $f$ 的核。
设 $A \in F^{s \times n}, f (X) = AX, \forall X \in F^{n}$ ，则 $R (f) = {AX | \forall X \in F^{n}} \subset F^{s}$ 为 $A$ 列向量所生成子空间，可记作 $R (A)$
$K (f) = {X | AX = 0, X \in F^{n}} \subset F^{n}$

$\dim R (A) = r (A)$
$R (A) = s p a n {α_{1} \dots, α_{n}}$
$\dim K (f) = s - r (A)$

线性映射的矩阵

设 $f \in H o m (V, U)$ ,选定基偶：

V : α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}; U : β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s},

若

(f (α_{1}), f (α_{2}), \dots, f (α_{n})) = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}) A,

则称 $A$ 是 $f$ 在选定基偶下的矩阵
特别如果 $U = V$ ,且 $α_{i} = β_{i}$ ，

(f (α_{1}), f (α_{2}), \dots, f (α_{n})) = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) A

则称 $A$ 是线性变换 $f$ 在所选基下的矩阵

Example

$f \in H o m (F^{2 \times 2}, F^{2 \times 2})$ 定义为：对 $X = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in F^{2 \times 2}$

f (X) = (\begin{matrix} a - 3 b & b + 2 c \\ a - b - c & a + b - 3 c + 4 d \end{matrix})

求 $f$ 在基 $E_{1} 1, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵

$(f (E_{11}), f (E_{12}), f (E_{21}), f (E_{22})) = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}) (\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 3 & 4 \end{matrix})$

若 $f \in H o m (V, U)$ 在基偶$$V:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n;\quad U:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$$下的矩阵是 $A, η \in V$ 在 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 的坐标是 $X$ ，则 $f (η)$ 在基 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 下的坐标是 $A X$
若 $f \in H o m (V, V)$ 在基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 下的矩阵是 $A$ , 则 $f$ 在新的基 $(α_{1}^{'}, α_{2}^{'}, \dots, α_{n}^{'}) = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) P$ 下的矩阵是 $B = P^{- 1} A P$

Example

求线性变换 $f : F_{3} [x] \to F_{3} [x]$ , $f (p (x)) = p^{'} (x), \forall p (x) \in F_{3} [x]$ 在基 $p_{1} (x) = 1 + x + 3 x^{2}, p_{2} (x) = 1 + x, p_{3} (x) = 1 + 2 x - x^{2}$ 下的矩阵

一组自然基 ${1, x, x^{2}}, (f (1), f (x), f (x^{2})) = (1, x, x^{2}) \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}}$
基 $(p_{1} (x), p_{2} (x), p_{3} (x)) = (1, x, x^{2}) \underset{P}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & - 1 \end{matrix})}}$ ，故所求矩阵 $B = P^{- 1} A P$

定理

假设 $f \in H o m (V, U)$ ,则

$f$ 是满射 $\Leftrightarrow R (f) = U$
$f$ 是单射 $\Leftrightarrow K (f) = {θ}$

维数定理

设 $\dim V < \infty, f \in H o m (V, U)$ ，则

\begin{aligned} \dim R (f) + \dim K (f) = \dim V \end{aligned}

$设 \dim V < \infty, f \in H o m (V, V), 则 f 可逆 \Leftrightarrow f 是单射 \Leftrightarrow f 是满射$

Example

设 $f \in H o m (F^{2 \times 2}, F^{2 \times 2})$ 定义为：
对 $\forall X = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}), f (X) = (\begin{matrix} a + b & b + c \\ c + d & d + a \end{matrix})$ ，求 $R (f), K (f)$ 的一组基及维数

$A x = θ \Rightarrow - x_{1} = x_{2} = - x_{3} = x_{4}$ ，基础解系为 $(- 1, 1, - 1, 1)^{T}$
$K (f)$ 的基为 $- E_{11} + E_{12} - E_{21} + E_{22}, \dim K (f) = 1$
易通过维数定理求 $\dim R (f) = 3$
$(f (E_{11}), f (E_{12}), f (E_{21}), f (E_{22})) = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}) \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}}$
对 $A$ 初等行变换后易求 ${E_{11} + E_{22}, E_{11} + E_{12}, E_{12} + E_{21}}, \dim R (f) = \dim A = 3$

同构

不变子空间

设 $f \in H o m (V, V), W \leq V$ , 若 $\forall η \in W$ ,有 $f (η) \in W$ ,则称 $W$ 是 $f$ 的不变子空间

？为何讨论不变子空间？
若 $f \in H o m (V, V), V = V_{1} \oplus V_{2}, V_{1}, V_{2}$ 均为 $f$ 的不变子空间，则在 $V_{1}, V_{2}$ 自身的基的合并下， $f$ 的矩阵为 $(\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix})$

Example

设 $f \in H o m (V, V)$ ，且 $f^{2} = f$
证明： $f$ 在 $V$ 的任意基下的矩阵均相似于 $(\begin{matrix} I & O \\ O & O \end{matrix})$

要证：存在一组基使 $f$ 的矩阵为 $(\begin{matrix} I & O \\ O & O \end{matrix})$
构造 $V_{1} = {v \in V | f (v) = v}, V_{2} = {v \in V | f (v) = θ}$ ，可证 $V = V_{1} \oplus V_{2}$
取 $V_{1}, V_{2}$ 的基 ${α_{1}, \dots α_{r}}, {α_{r + 1}, \dots α_{s}}$ ，则 $(f (α_{1}), \dots, f (α_{s})) = (α_{1}, \dots, α_{r} \dots, α_{s}) (\begin{matrix} I_{r} & O \\ O & O \end{matrix})$

同构

设 $U, V$ 都是数域 $F$ 上的线性空间。如果 $f \in H o m (V, U)$ 是双射，则称 $f$ 是线性空间 $U, V$ 之间的同构
如果 $U, V$ 之间存在同构映射，则称 $U, V$ 是同构的。记为 $V ≅ U$