相似标准型

给定任意矩阵找到最简单的相似矩阵
给定线性空间上的线性变换，确定有一组基使得线性变换矩阵最简

特征值与特征向量

相似于对角阵充要条件

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 相似于对角阵充要条件： $A$ 有 $n$ 个线性无关特征向量

特征值|特征向量

$\begin{aligned} 设 f 是线性空间 V 上的线性变换,设 λ_{0} \in C . 若存在 η \in V 使得 \\ θ \neq η \in V,且 f (η) = λ_{0} η \\ 则称 λ_{0} 是线性变换 f 的特征值, η 是相应于 λ_{0} 的特征向量 \end{aligned}$

线性变换的可对角化
存在线性空间 $V$ 的基使得线性变换 $f$ 的矩阵为对角阵充要条件： $f$ 有 $n$ 个线性无关特征向量

Example

设 $A$ 是给定的 $n \times n$ 矩阵， $f \in H o m (C^{n}, C^{n})$ 定义为：

\forall X \in C^{n}, f (X) = A X $ $ 求 $ f $ 的 特 征 值 、 特 征 向 量 。 - - - $ f (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}) = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}) \underset{A}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \end{matrix})}} $ $ λ_{A} = 0, r (A) = 2 $ 可 求 $ f $ 特 征 向 量 为 $ (\begin{matrix} a & b \\ - a & - b \end{matrix}) $

【定理】若

A, B \in C^{n \times n}

是相似的，则

| λ I - A | = | λ I - B |

逆命题不成立（如 $A = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$
可定义线性变换的特征多项式

主子式|化零多项式|最小多项式

子行列式|主子式

设矩阵 $A = (a_{i j})_{n \times n}$
子行列式（子式）：任取k行，k列（行列序号可以不同）交叉处的元素构成k阶子式
主子式：任取k行，k列（行列序号相同）交叉处的元素构成k阶主子式

特征多项式

设 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ ，则

| λ I - A | = λ^{n} + b_{1} λ^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} λ + b_{n} = C (λ)

$b_{j} = (- 1)^{j} \sum (A 的所有 j 阶主子式), b_{1} = - t r (A), b_{n} = (- 1)^{n} | A |$ ， $C (λ)$ 即特征多项式

求

A = α β^{H}

的特征值

$| λ I - A | = λ^{n - 1} (λ - ⟨ α, β ⟩)$

化零多项式

设 $f (x)$ 是多项式。若 $f (A) = 0$ ，则称 $f (x)$ 为 $A$ 的化零多项式， $A$ 的特征值均为 $f (x) = 0$ 的根

$A η = λ η, η \neq θ ⟹ A^{k} η = λ^{k} η ⟹ f (A) η = f (λ) η = 0 \overset{η \neq θ}{⟹} f (λ) = 0$
$f (λ) = 0$ 的根不一定是 $A$ 的特征值（ $f (λ) = 0 = f (λ) g (λ), \forall g (λ)$ ）

最小多项式

矩阵（线性变换则对应度量矩阵）的次数最低，最高次项系数为一的化零多项式，记 $m (λ)$

任意矩阵最小多项式唯一
相似矩阵最小多项式相同

证明思路：由相似易证 $\exists P, ψ (B) = P^{- 1} ψ (A) P$ ；由此 $ψ (A) = 0 \Leftrightarrow ψ (B) = 0$ ，化零多项式一致故最小多项式一致

Schur引理|Hamilton-Cayley定理

Schur引理

对 $\forall A \in C^{n \times n}, \exists 酉阵 U$ ，使得 $U^{H} A U$ 为上三角矩阵

相比方阵UT分解，Schur引理无需方阵可逆性

定理

设 $A \in F^{n \times n}, C (λ) = | λ I - A |$ ，则 $C (A) = O$
设 $f \in H o m (V, V), C (λ)$ 是 $f$ 的特征多项式，则 $C (f) = O$

Example

设 $A = (\begin{matrix} - 3 & 4 \\ - 3 & 5 \end{matrix})$ ，求 $A^{100}$

【法1】相似对角化（但并非所有矩阵均相似与对角阵（充要条件：n个线性无关特征向量）
可求 $C (λ) = (λ - 3) (λ + 1)$
$λ_{1} = 3, η_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 / 3 \end{matrix}); λ_{2} = 1, η_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$
$A^{100} = P^{- 1} Λ P = (\begin{matrix} 3 / 2 & - 3 / 4 \\ - 1 / 2 & 3 / 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3^{100} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 / 3 & 2 \end{matrix})$
【法2】Hamilton-Cayley定理
由于 $C (λ)$ 为二次函数， $λ^{100} = C (λ) q (λ) + a λ + b$
带入 $λ_{1} = 3 ， λ_{2} = - 1$ 可求得 $a = (3^{100} - 1) / 4, b = (3^{100} + 3) / 4$
可得 $A^{100} = 0 + a A + b I$

$m (x) | C (x)$ 且 $m (λ_{0}) = 0 ⟺ C (λ_{0}) = 0$

定理可知特征多项式为化零多项式。由定义可知最小多项式为化零多项式因子，且特征值均为任一化零多项式（最小多项式也是化零多项式）的根可得上述结果
- 【求最小多项式】
1. 求出特征多项式并因式分解 $C (x) = \prod_{i = 1}^{s} (x - λ_{i})^{k_{i}}$
2. 列出所有可能候选多项式 ${ψ_{1} (x), \dots} (ψ_{i} (x) = \prod_{i = 1}^{s} (x - λ_{i})^{l_{i}}, 1 \leq l_{i} \leq k_{i})$
3. 从低次到高次计算 $ψ_{i} (A)$ ，第一个得到零矩阵的即最小多项式

求最小多项式

$(\begin{matrix} a \\ a \\ a \end{matrix}), (\begin{matrix} a & 1 \\ a & 0 \\ a \end{matrix}), (\begin{matrix} a & 1 \\ a & 1 \\ a \end{matrix})$

易知特征多项式均 $C (λ) = (λ - a)^{3}$
$m (λ) = (λ - a), (λ - a)^{2}, (λ - a)^{3}$

求

A = α β^{H}

的最小多项式

利用矩阵的秩~~以及相似于特征值~~对角阵易解

$β^{H} α = 0, m (λ) = λ^{2}$
$β^{H} α \neq 0, m (λ) = λ (λ - β^{H} α)$

可对角化问题

对给定矩阵，判断是否相似于对角阵
已知：可对角化充要条件：n个线性无关特征向量；不同特征值对应特征向量线性无关

特征子空间 | 代数重数/几何重数

特征子空间

设 $f \in H o m (V, V), λ_{0}$ 是 $f$ 的特征值，称

V_{λ_{0}} = {η \in V | f (η) = λ_{0} η}

为 $f$ 相应于特征值 $λ_{0}$ 的特征子空间

$\dim V_{λ_{0}}$ 即 $f$ 特征值为 $λ_{0}$ 对应的特征向量个数

代数重数/几何重数

设 $f \in H o m (V, V)$ 的特征多项式为 $C (λ) = Π_{i = 1}^{s} (λ - λ_{i})^{c_{i}}$ ，则 $\dim V_{λ_{i}} \leq c_{i}$
$c_{i}, \dim V_{λ_{i}}$ 也称作代数重数与几何重数

代数重数反映了特征值在多项式方程中作为根出现的次数；几何重数描述了特定特征值的特征向量能够形成的最大线性无关集合的大小。
代数重数是能用若干次 $A - λ I$ 零化的子空间维数，几何重数是能用一次 $A - λ I$ 零化的子空间维数， $\dim (V_{λ}) = n - R (λ I - A)$ 。

【一个直观但可能不严谨的例子】
如上述例题
$A_{1} = (\begin{matrix} a \\ a \\ a \end{matrix}), A_{2} = (\begin{matrix} a & 1 \\ a & 0 \\ a \end{matrix}), A_{3} = (\begin{matrix} a & 1 \\ a & 1 \\ a \end{matrix})$
可知 $r (A_{1, 2, 3} - a I) = 0, 1, 2 < 3$ 。因此总可以用若干次 $A - a I$ 将任意3维子空间零化（ $(A - a I)^{k} = O$ ）。
而对于几何重数，一次 $A - a I$ 零化的子空间：
$A_{1} - a I = O$ ，故任意 $v \in R^{3}$ 均可零化，也可视作 $(A_{1} - a I) x = θ$ 的解空间，也对应着 $\dim (V_{a}) = n - R (a I - A_{1}) = 3 - 0$ ，其余两个矩阵对应几何重数同理。

Proof

扩充 $V_{λ_{i}}$ 的基 ${ϵ_{1}, \dots, ϵ_{t}} ⟶ {ϵ_{1}, \dots, ϵ_{t} \dots, ϵ_{n}} (t = \dim V_{λ_{i}}, n = \dim V)$
则 $f$ 在 $V$ 下的矩阵为 $(\begin{matrix} (\begin{matrix} λ_{i} \\ ⋱ \\ λ_{i} \end{matrix}) & B \\ O & C \end{matrix})$
$| λ I - A | = (λ - λ_{i})^{t} \cdot | λ I - C | ⟹ t \leq r_{i}$

$设 f \in H o m (V, V) 的特征多项式是 C (λ) = Π_{i = 1}^{s} (λ - λ_{i})^{c_{i}}, 则下述条件是等价的:$
- $f 是可对角化的;$
- $\dim V_{λ_{1}} + \dim V_{λ_{2}} + \dots + \dim V_{λ_{s}} = n$
- $\forall i, \dim V_{λ_{i}} = c_{i};$
- $V = V_{λ_{1}} \oplus V_{λ_{2}} \oplus \dots \oplus V_{λ_{s}}$

最小多项式与可对角化

定理

$n \times n$ 矩阵相似于对角阵当且仅当最小多项式无重根

已知相似对角阵的充要条件为有 $n$ 个线性无关特征向量，即等价于每个特征值对应代数重数=几何重数。上述代数重数/几何重数中对几何重数的说明可知，几何重数=代数重数说明 $A - λ I$ 一次与若干次零化相同；而最小多项式无重根即说明一次 $(A - λ I)$ 即可，无需若干次。
即 最小多项式无重根 <——> 代数重数=几何重数 <——> 有 $n$ 个线性无关特征向量 <——> 可相似对角化

Jordan标准型

对给定矩阵（不一定可对角化），如何找到最简（类似对角阵的）的相似矩阵？

Jordan块 | Jordan形矩阵 | Jordan标准型

Jordan块 | Jordan形矩阵

Jordan块：形如 ${(\begin{matrix} a & 1 \\ a & ⋱ \\ ⋱ & 1 \\ a \end{matrix})}_{k \times k}$ ，记作 $J_{k} (a)$
Jordan形矩阵：形如 $J = (\begin{matrix} J_{1} \\ J_{2} \\ ⋱ \\ J_{s} \end{matrix}), J_{i}$ 为Jordan块

Jordan块的特征多项式与最小多项式一致

Jordan标准型

$A \sim J, J$ 是Jordan形矩阵，则称 $J$ 是 $A$ 的Jordan标准型
$J = (\begin{matrix} J_{1} \\ J_{2} \\ ⋱ \\ J_{s} \end{matrix}), {J_{1}, \dots, J_{s}}$ 排序不唯一

若 $M = (\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix})$ ,则矩阵 $M, A, B$ 的最小多项式间有关系： $m_{M} (λ) = [m_{A} (λ), m_{B} (λ)]$
Jordan 标准型中以 $λ$ 为主对角元的Jordan块最高阶数对应矩阵最小多项式中 $λ$ 的对应次数
特别地， $A$ 相似于对角阵 <——> 每个Jordan块最高阶数为1 <——> 最小多项式无重根

Example

|400

相似的充要条件

在复数范围内，任意方阵都存在 Jordan 标准形 (相似标准形)
即：若 $A \in C^{n \times n}$ ,则存在可逆阵 $P \in C^{n \times n}$ ,使得 $P^{- 1} A P = J$ 为 Jordan 形矩阵
Jordan 标准形 (不计块的次序) 是唯一的；其中 $J_{k} (λ)$ 块的块数等于 $r (B^{k - 1}) - 2 r (B^{k}) + r (B^{k + 1}), B = A - λ I$
方阵 $A, B$ 相似当且仅当有相同的 Jordan 标准形
求 Jordan 标准型
给定 $n$ 阶方阵 $A_{n \times n}$
1. 求出特征多项式并因式分解 $c (x) = | x I_{n} - A | = \prod_{i = 1}^{s} (x - λ_{i})^{k_{i}};$
2. 写出所有可能的 Jordan 标准形 $J_{1}, \dots, J_{m};$
3. 计算 $(λ_{i} I_{n} - A)^{t}$ 与 $(λ_{i} I_{n} - J_{j})^{t}$ 的秩，进行比较排除；(不用考虑单根)
4. 最后剩下的那一个即为 $A$ 的 Jordan 标准形

求下列方阵的 Jordan 标准型

$B = (\begin{matrix} 13 & 16 & 16 \\ - 5 & - 7 & - 6 \\ - 6 & - 8 & - 7 \end{matrix})$

$| x I - B | = (x - 1)^{2} (x + 3), λ_{1} = λ_{2} = 1, λ_{3} = - 3$
可能为 $J_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix}), J_{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix})$
$r (B - 1 I) = 2, r (J_{1} - 1 I) = 1, r (J_{2} - 1 I) = 2$
结果为 $J_{2}$