伽马函数

$Γ (s) := \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{s - 1} d x, R (s) > 0$

$Γ (s)$ 存在性

利用衰减来约束积分

s > 0

时存在性

易证，总有上界。

\begin{aligned} \exists M \in Z, M ≫ s & , e^{x} > x^{M} / M \\ ∴ \int_{1}^{B} e^{- x} x^{s - 1} d x & ⩽ \int_{1}^{B} M! x^{- M} x^{s - 1} d x \\ = {M! \frac{x^{s - M}}{s - M} |}_{1}^{B} \\ = \frac{M!}{s - M} [\frac{1}{B^{M - s}} - 1] \end{aligned}

当 $s \leq 0$ 时，函数在 $[0, 1]$ 上不可积。

$Γ (s)$ 函数方程

理解任意一个 $s$ 值作为输入的意义

解析延拓

\begin{matrix} I f | r | < 1, t h e n l i m_{n \to \infty} r^{n} = 0 \\ \sum_{m = 0}^{\infty} r^{m} = lim_{n \to \infty} S_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r} = \frac{1}{1 - r} \\ 1 + r + r^{2} + r^{3} + r^{4} + r^{5} + r^{6} + \dots = \frac{1}{1 - r}, | r | < 1 \end{matrix}

左端式子仅 $| r | < 1$ 成立，而右端对 1 以外的数均成立。可以说右端时左端的解析延拓，且在 $s = 1$ 处有一个极点。

$Γ (s)$ 的函数方程 $Γ (s + 1) = s Γ (s), s \notin {Z_{-}, 0}$ 可把上式推广到所有 $s$ 上，也称为伽马函数。

分部积分证明

$\begin{aligned} Γ (s + 1) & = {- x^{s} e^{- x} |}_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{- x} s x^{s - 1} d x \\ = 0 + s \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{s - 1} d x = s Γ (s), s > 0 \end{aligned}$

当 $s = 0$ 时，

Γ (0) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{0 - 1} d x = \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{- 1} d x

不可积（ $e^{- x} x^{- 1} \sim \frac{1}{x}, x \to 0$ ）。因此由函数方程知，对所有负整数同样无定义

$Γ (s)$ 是阶乘的推广
若 $n \in N$ ，则 $Γ (n + 1) = n!$

计算阶乘，这两种方法（乘法与积分法）各有优点, 但我想对积分法的一些优点展开讨论, 因为是大多数人未曾了解的. 积分很难, 大多数学生直到高中或大学时才认识它. 我们都知道如何进行乘法运算——从小学开始, 我们就一直这样做. 那为什么要自找麻烦, 把简单的乘法问题转化为积分呢？
这样做是基于数学的一般原则——通常, 当你站在更高的层次上、以不同的方式来看待事物时, 就会看到一些可以利用的新特性. 另外,一旦把它写成积分, 我们就有了更多的工具, 可以利用积分理论和分析学的相关结果来研究问题. 在[斯特林公式]中, 我们就是这样做的. 把阶乘函数看作积分来重新研究, 看看我们能学到多少有关阶乘函数的知识
余割等式
$Γ (s) Γ (1 - s) = π \csc (π s) = \frac{π}{\sin (π s)}, s \notin Z$

由于伽马函数在负整数未定义，由此取值

Proof

*略

贝塔函数与伽马函数

贝塔函数

$B (a, b) = \int_{0}^{1} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t, a, b > 0$

贝塔函数基本关系式 $B (a, b) := \int_{0}^{1} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t = \frac{Γ (a) Γ (b)}{Γ (a + b)} a, b > 0$

Proof

$\begin{aligned} Γ (a) Γ (b) & = Γ (a + b) \int_{0}^{1} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- x} x^{a - 1} d x \int_{0}^{\infty} e^{- y} y^{b - 1} d y \\ = \int_{y = 0}^{\infty} \int_{x = 0}^{\infty} e^{- (x + y)} x^{a - 1} y^{b - 1} d x d y \\ = \int_{y = 0}^{\infty} [\int_{u = 0}^{\infty} e^{- (1 + y) u} (y u)^{a - 1} y^{b - 1} y d u] d y \\ = \int_{y = 0}^{\infty} \int_{u = 0}^{\infty} y^{a + b - 1} u^{a - 1} e^{- (1 + u) y} d u d y \\ = \int_{u = 0}^{\infty} \int_{y = 0}^{\infty} y^{a + b - 1} u^{a - 1} e^{- (1 + u) y} d y d u \\ = Γ (a + b) \int_{0}^{1} τ^{a - 1} (1 - τ)^{b + 1} \frac{d τ}{(1 - τ)^{2}} \\ = Γ (a + b) \int_{0}^{1} τ^{a - 1} (1 - τ)^{b - 1} d τ \end{aligned}$

贝塔分布 $f_{a, b} = {\begin{cases} \frac{Γ (a + b)}{Γ (a) Γ (b)} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t & 0 ⩽ t ⩽ 1 \\ 0 & others \end{cases}$ 记作 $X \sim B (a, b)$

正态分布与伽马函数

与标准正态分布相关的最重要积分：

\begin{aligned} (概率和) & 1 & = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x \\ (一阶矩—均值) & 0 & = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x \\ (二阶矩—方差) & 1 & = \int_{- \infty}^{\infty} (x - 0)^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x \\ (2m阶矩) & μ_{2 m} & = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2 m} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x = (2 m - 1)!! \end{aligned}

\begin{aligned} μ_{2 m} & = \frac{2^{m}}{\sqrt{π}} Γ (m + \frac{1}{2}) \\ = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} 2^{m} u^{m} e^{- u} \frac{d u}{\sqrt{2 u}} = \frac{2^{m}}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} u^{m - \frac{1}{2}} e^{- u} d u \end{aligned}

Γ(s) 存在性

Γ(s) 函数方程

贝塔函数与伽马函数

正态分布与伽马函数

$Γ (s)$ 存在性

$Γ (s)$ 函数方程